A equação (identidade) mais bonita de todos os tempos !

 1. Introdução - Matemática, invenção ou descoberta ?

Muito se discute nos meios científicos se a Matemática foi uma descoberta ou uma criação da mente humana. É fato que de alguma forma conseguimos através de leis, números especiais e equações, representarmos com muita fidelidade uma grande parte dos acontecimentos da natureza. 

A questão é: Essa representação é intrínseca da natureza ou nós homens conseguimos criar sistemas de representação e simulação capazes de representar com extrema fidelidade o que acontece na natureza.

As opiniões a essa resposta são divididas. Encontramos uma grande parte de matemáticos que acham que a matemática está na natureza e nós só descobrimos, outra parte acha que tudo foi criação da mente humana, e outra parte acha que é um pouco das duas coisas, isto é, algumas coisas são intrínsecas, outras foram manipuladas e teorizadas para tentar explicar chegando perto da realidade.

Independente de uma coisa ou outra é impossível deixarmos de nos admirar com que precisão calculamos as órbitas dos planetas em torno so sol, como usamos esses cálculos para lançarmos nossas espaçonaves para lua, marte, vênus, júpiter, ...,.

Algumas constantes que tem valores e significados são muito utilizados no nosso dia a dia e algumas equações conseguem prever no nível dos objetos macros o comportamento do movimento de objetos baseado nas suas condições atuais.

Dentro das inumeráveis equações existentes nos mais diversos campos da ciência selecionamos uma que frequentemente é citada como a mais bela equação matemática. Vejamos qual e porque.

2. - Identidade de Euler

Normalmente em uma equação temos um valor de uma variável, ou incógnita, que queremos determinar o seu valor. Quando em uma equação já temos todos os valores definidos, chamamos de identidade justamente à afirmação que o lado esquerdo da igualdade é igual ao lado direito.

Segundo Richard Feynman, um dos maiores físicos do século XX, seria a identidade mais bela de toda a matemática. A equação aparece na obra de Leonhard Euler Introdução, publicada em Lausanne em 1748.  

Nesta equação, e é a base do logaritmo natural, ${\displaystyle i}$ é a unidade imaginária (número imaginário com a propriedade i² = -1), e ${\displaystyle \pi }$ é a constante de Arquimedes pi (π, a razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência).

A beleza da equação é que ela relaciona cinco números fundamentais da matemática: e, pi, i, 0 e 1; e as operações base da matemática: adição, multiplicação e exponenciação. 

    

Vejamos o significado de cada uma das constantes:

2.1 - Crescimento linear / crescimento exponencial

Uma equação linear é da forma   y  =  2 * x 

então para      x = 0    o valor de y = 0,       (duas vezes zero)

                       x = 1    o valor de y = 2,       (duas vezes um)

                       x = 2    o valor de y = 4,       (duas vezes dois)

                       x = 3    o valor de y = 6,       (duas vezes três)

                       x = 4    o valor de y = 8,       (duas vezes quatro)

                       x = 5    o valor de y = 10,     (duas vezes cinco)

                       x = 6    o valor de y = 12,     (duas vezes seis)       

Uma equação exponencial  é da forma y = 2 ^ x

então para      x = 0    o valor de y = 1,    (dois elevado a zero = 1)

                       x = 1    o valor de y = 2,   (dois elevado a um = 2 x 1)

                       x = 2    o valor de y = 4,   (dois elevado a dois = 2 x 2)

                       x = 3    o valor de y = 8,   (dois elevado a três  = 2 x 2 x 2)

                       x = 4    o valor de y = 16, (dois elevado a quatro = 2 x 2 x 2 x 2)

                       x = 5    o valor de y = 32, (dois elevado a cinco = 2 x 2 x 2 x2 x 2)

                       x = 6    o valor de y = 64, (dois elevado a seis)

Notemos que o crescimento exponencial é muito mais rápido que o crescimento linear e quanto maior a base mais rápido o crescimento. No exemplo acima a base utilizada foi 2.

2.2 O número e

A função exponencial natural, denotada e^x ou exp(x) é a função exponencial cuja base é o número de Euler / Número de Napier (um número irracional que vale aproximadamente 2,718281828). 

Na natureza o decaimento radioativo é um decaimento exponencial na base e, crescimento populacional e o resfriamento de um corpo quente ao ar livre também são grandezas exponenciais na base e. 

O número de euler começou a ser estudado com o problema de juros compostos. O problema apareceu quando os banqueiros que emprestavam dinheiro a uma taxa de juros de x % ao ano, começaram a querer contabilizar esses juros em períodos menores, por exemplo, a taxa de x% cobrada em cada trimestre, gerava um valor de juros acumulados ou o juros sobre juros. O número euler apareceu porque mesmo que divídimos uma taxa fixa, dividindo o número de cobranças em períodos muito pequenos o valor máximo de acréscimo tenderia para 2,728.  

A propagação de um vírus como o corona vírus também é exponencial, com base variável, dependendo da taxa com  a qual a grandeza dobra.

2.3 - Pi, A razão entre o comprimento e o diâmetro de um circunferência

Na matemática, o número ${\displaystyle \pi }$ é uma proporção numérica definida pela relação entre o perímetro (comprimento) de uma circunferência e seu diâmetro; por outras palavras, se uma circunferência tem perímetro ${\displaystyle p}$ e diâmetro ${\displaystyle d}$ , então aquele número é igual a ${\displaystyle p/d}$. 

É representado pela letra grega π. A letra grega π, foi adotada para o número a partir da palavra grega para perímetro, "περίμετρος", provavelmente por William Jones em 1706, e popularizada por Leonhard Euler alguns anos mais tarde. 

Cada unidade representa um diãmetro, quando desenrolamos o cabo temos Pi vezes o diâmetro.

Valor de ${\displaystyle \pi }$

O valor de ${\displaystyle \pi }$ pertence aos números irracionais. Para a maioria dos cálculos simples é comum aproximar ${\displaystyle {\pi }}$ por 3,14. Uma boa parte das calculadoras científicas de 8 dígitos aproxima ${\displaystyle \pi }$ por 3,1415926. Para calcular rotas de navegações interplanetárias a NASA utiliza ${\displaystyle \pi \approx 3,141592653589793}$ (com 15 casas decimais). Para calcular um círculo com 46 bilhões de anos-luz de raio em volta do universo observável seria suficiente uma aproximação de ${\displaystyle \pi }$ com apenas 40 casas decimais para garantir precisão de 1 átomo de hidrogênio.

2.4 - O número imaginário i

Os números imaginários surgiram na pesquisa e tentativa de se obter uma solução geral para as equações de terceiro grau. No século XVI, Tartaglia descobriu uma formula geral para resolver equações do tipo x^3 + p*x = q. Só que em vários casos, a aplicação dessa fórmula se deparava com termos que se referiam a raíz quadrada de números negativos, o que não tem solução nos números reais pois todo número multiplicado por ele mesmo é positivo. 

Ainda no século XVI, Bombelli chamou a raiz quadrada de -1 de um número imaginário e desenvolveu regras para tratar com esse tipo de número. 

No início do século XVIII, Euler  usou pela primeira vez o símbolo i para representar a raiz quadrada de -1.

Gauss, por sua vez, no século XIX, faz um estudo da representação geométrica dos números imaginários e introduz o termo números complexos.

Linha do tempo (fonte: /matematicacomplexa/iniciodoprojeto/aplicacao-dos-numeros-complexos)

Tartaglia (cerca de 1500-1557)	Cardano (1501-1576)	Bombelli (cerca de 1526-1573)	Euler (1707-1783)	Gauss  (1777-1855)
Descobriu uma fórmula geral para resolver equações do tipo x³ + px = q, com p, q sendo números Reais. Mas, acabou não publicando sua obra.	Quebrou um juramento feito a Tartaglia, apresentando a fórmula de Tartaglia na sua obra Ars Magna. Surge o impasse da raiz quadrada de um número negativo.	Prosseguiu com a solução encontrada por Cardano, considerou a raiz quadrada de -1 como um número "imaginário" e desenvolveu regras para trabalhar com esse tipo de número.	Usou pela primeira vez o símbolo i para representar a raiz quadrada de -1.	Fez um estudo da representação geométrica dos números complexos. Em, 1832 Gauss introduz a expressão número complexo.

Os números complexos posteriormente começaram a ser utilizados na engenharia elétrica para facilitar a representação de Módulo, frequência e fase das grandezas tensão, corrente e impedância.

A introdução inicial do conceito de fasor, foi desenvolvida por Charles Proteus Steinmetz trabalhando na General Electric no fim do século 19.

Trata-se da utilização de um vetor bidimensional para representar uma onda em movimento.

Atualmente a teoria eletromagnética usa largamente os números complexos nas suas representações.

2.5 - A unidade 1

O Número um (1) é o número inteiro que segue o zero, sendo o segundo número natural. O um é o elemento neutro do produto, ou seja, qualquer número a multiplicado por 1 resulta em a.

2.6 - O número neutro 0

O Número zero (0), ou valor nulo, é o número que antecede o inteiro positivo um, e separa todos os números positivos de todos os números negativos. Ele é definido como a cardinalidade de um conjunto vazio, e o elemento neutro na adição e absorvente na multiplicação.

2.7 - Outra forma da Equação de Euler

A fórmula de Euler, cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler, é uma fórmula matemática da área específica da análise complexa, que mostra uma relação entre as funções trigonométricas e a função exponencial (a identidade de Euler é um caso especial da fórmula de Euler). A fórmula é dada por: 

${\displaystyle e^{ix}=\cos \left(x\right)+{\text{i}}\,\operatorname {sin} \left(x\right)}$,

Vejamos que quando x = pi, temos   e (I.pi) = cos(pi) + i sin (pi) = -1 + 0 = -1.

2.8 - Vídeo explicativo da BBC

3 - Leonard Euler

Leonhard Paul Euler foi um matemático e físico suíço de língua alemã que passou a maior parte de sua vida na Rússia e na Alemanha.Euler nasceu na Basileia, 15 de abril de 1707 e faleceu em São Petersburgo, 18 de setembro de 1783). Fez importantes descobertas em várias áreas da matemática como o cálculo e a teoria dos grafos. Também introduziu muitas das terminologias da matemática moderna e da notação matemática, particularmente na análise matemática, como também no conceito de função matemática. É também reconhecido por seus trabalhos na mecânica, dinâmica de fluidos, óptica, astronomia e teoria da música.

4. - Referências

História da Matemática - Anne Rooney

Wikipédia - identidade de Euler

Números complexos = (fonte: /matematicacomplexa/iniciodoprojeto/aplicacao-dos-numeros-complexos)

Matematica na veia - https://matematica-na-veia.blogspot.com/2011/12/identidade-de-euler.html